Apakah kuasa nombor itu

• Sebabnya

Sila ambil perhatian bahawa bahagian ini berkaitan dengan konsep ijazah sahaja dengan penunjuk semulajadi dan sifar.

Konsep dan sifat darjah dengan eksponen rasional (dengan negatif dan pecahan) akan dibincangkan dalam pelajaran untuk kelas 8.

Jadi, mari kita fahami apa kuasa nombor itu. Untuk merekod produk nombor itu sendiri sendiri beberapa kali menggunakan notasi ringkas.

Daripada produk enam faktor yang sama 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, mereka menulis 4 6 dan mengatakan "empat ke gelaran keenam".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Ungkapan 4 6 disebut kuasa nombor, di mana:

• 4 - asas ijazah;
• 6 - eksponen.

Secara umum, ijazah dengan asas "a" dan indeks "n" ditulis menggunakan ungkapan:

Tahap nombor "a" dengan indeks semulajadi "n", lebih besar daripada 1, adalah hasil dari faktor yang sama dengan "n", masing-masing bersamaan dengan nombor "a".

Notasi "a n" dibaca seperti ini: "tetapi kepada kuasa n" atau "nth kuasa nombor a".

Pengecualian adalah rekod:

• a 2 - ia boleh dinyatakan sebagai "kuasa dua";
• a 3 - ia boleh diucapkan sebagai "tetapi dalam kiub".

Sudah tentu, ungkapan di atas boleh dibaca untuk menentukan ijazah:

• a 2 - "dan dalam ijazah kedua";
• a 3 - "dan dalam ijazah ketiga."

Kes-kes khas berlaku apabila eksponen adalah satu atau sifar (n = 1; n = 0).

Tahap nombor "a" dengan indeks n = 1 adalah nombor itu sendiri:
a 1 = a

Mana-mana nombor dalam ijazah sifar adalah satu.
a 0 = 1

Sifar dalam mana-mana ijazah semulajadi adalah sifar.
0 n = 0

Unit ke darjah sama dengan 1.
1 n = 1

Ungkapan 0 0 (sifar hingga sifar) dianggap tidak bermakna.

Apabila menyelesaikan contoh, seseorang perlu ingat bahawa peningkatan kepada kuasa dipanggil mencari nilai angka atau abjad selepas menaikkannya kepada kuasa.

Contohnya. Naik ke tahap.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 · 2.5 = 6.25
• (

Meningkatkan nombor negatif

Asas ijazah (nombor yang dinaikkan kepada kuasa) boleh menjadi nombor - positif, negatif, atau sifar.

Apabila meningkat kepada kuasa nombor positif, nombor positif diperolehi.

Apabila membina gelaran semulajadi sifar, sifar diperolehi.

Apabila menaikkan nombor negatif kepada kuasa, hasilnya boleh menjadi nombor positif atau nombor negatif. Ia bergantung kepada sama ada eksponen itu ganjil atau ganjil.

Pertimbangkan contoh penjanaan kepada kuasa nombor negatif.

Dari contoh-contoh yang dipertimbangkan, jelas bahawa jika nombor negatif dinaikkan kepada gelaran ganjil, maka nombor negatif diperolehi. Oleh kerana produk nombor ganjil faktor negatif adalah negatif.

Jika nombor negatif dinaikkan kepada kuasa yang lebih tinggi, maka nombor positif diperolehi. Memandangkan hasil daripada beberapa faktor negatif adalah positif.

Nombor negatif yang dibangkitkan kepada kuasa juga adalah nombor positif.

Nombor negatif yang dibangkitkan kepada kuasa ganjil adalah nombor negatif.

Kuadrat mana-mana nombor adalah nombor positif atau sifar, iaitu:

a 2 ≥ 0 untuk mana-mana a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Beri perhatian!

Apabila menyelesaikan contoh eksponensi, mereka sering membuat kesilapan, melupakan bahawa penyertaan (-5) 4 dan -5 4 adalah ungkapan yang berbeza. Keputusan eksponensi ekspresi ini akan berbeza.

Untuk mengira (-5) 4 bermakna untuk mencari nilai kuasa keempat nombor negatif.

Semasa mencari "-5 4" bermakna contohnya perlu diselesaikan dalam 2 langkah:

1. Naik ke kuasa keempat nombor positif 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Letakkan tanda tolak di hadapan hasil (iaitu, lakukan tindakan penolakan).
   -5 4 = -625

Contohnya. Kira: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

Prosedur dalam contoh dengan darjah

Pengiraan nilai dipanggil tindakan exponentiation. Inilah tindakan langkah ketiga.

Dalam ungkapan dengan darjah yang tidak mengandungi tanda kurung, mereka mula-mula menjalankan kuasa, kemudian membiak dan membahagikan, dan pada akhirnya menambah dan kurangi.

Sekiranya terdapat tanda kurung dalam ungkapan, maka pertama-tama dalam urutan di atas, lakukan tindakan dalam kurungan, dan kemudian tindakan yang tersisa dalam susunan yang sama dari kiri ke kanan.

Untuk memudahkan penyelesaian contoh, berguna untuk mengetahui dan menggunakan jadual ijazah, yang boleh anda muat turun secara percuma di laman web kami.

Untuk menyemak keputusan anda, anda boleh menggunakan kalkulator naik gelar dalam talian di laman web kami.

Ijazah nombor: definisi, jawatan, contoh.

Dalam artikel ini, kita akan memahami tahap ijazahnya. Di sini kita akan memberikan definisi darjah nombor, dengan melihat terperinci pada semua petunjuk yang mungkin darjah, bermula dengan penunjuk semula jadi dan berakhir dengan tidak rasional. Dalam bahan ini, anda akan dapati banyak contoh darjah yang merangkumi semua perihal yang timbul.

Navigasi halaman.

Ijazah dengan penunjuk semulajadi, kuadrat nombor, kiub nombor

Untuk memulakan, kami akan memberikan takrif darjah nombor dengan indeks semulajadi. Ke depan, kita katakan bahawa takrif derajat a dengan indeks semulajadi diberikan untuk nombor sebenar a, yang mana kita akan panggil pangkalan ijazah itu, dan bilangan semulajadi n, yang akan kita panggil eksponen. Kami juga perhatikan bahawa ijazah dengan indeks semulajadi ditentukan melalui produk, supaya untuk memahami bahan di bawah, anda perlu mempunyai idea mengenai pendaraban nombor.

Tahap a dengan indeks semulajadi n adalah ungkapan bentuk n, nilai yang sama dengan produk n faktor, masing-masing bersamaan dengan, iaitu,.
Khususnya, ijazah dengan indeks 1 adalah nombor satu itu sendiri, iaitu, 1 = a.

Daripada definisi ini, jelas bahawa dengan bantuan ijazah dengan indeks semulajadi dapat mencontohkan beberapa faktor yang serupa. Sebagai contoh, 8 · 8 · 8 · 8 boleh ditulis sebagai ijazah 8 4. Ini sama dengan berapa jumlah istilah yang serupa ditulis dengan menggunakan kerja, sebagai contoh, 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (lihat artikel umum mengenai pendaraban bilangan semula jadi).

Segera ia harus dikatakan mengenai peraturan membaca darjah. Cara sejagat untuk membaca rekod n ialah: "a ke kuasa n". Dalam sesetengah kes, varian tersebut juga boleh diterima: "a ke ijazah n" dan "nth kuasa nombor a". Sebagai contoh, ambil gred 8 12, ini adalah "lapan kepada kuasa dua belas", atau "lapan ke kuasa kedua belas", atau "kekuatan kedua belas".

Tahap kedua nombor, serta tahap ketiga nombor mempunyai nama mereka sendiri. Kuasa kedua nombor dipanggil kuadrat nombor, sebagai contoh, 7 2 berbunyi seperti "tujuh kuasa dua" atau "segi empat daripada nombor tujuh". Kuasa ketiga nombor dipanggil kiub nombor, sebagai contoh, 5 3 boleh dibaca sebagai "lima dalam kiub" atau katakan "kiub nombor 5".

Sudah waktunya untuk memberi contoh darjah dengan penunjuk semulajadi. Mari bermula dengan ijazah 5 7, di sini 5 adalah asas ijazah, dan 7 adalah eksponen. Marilah kita memberi contoh lain: pecahan perpuluhan 4.32 adalah pangkalan, dan integer positif 9 adalah eksponen (4.32) 9.

Sila ambil perhatian bahawa dalam contoh terakhir, pangkalan ijazah 4.32 ditulis dalam kurungan: untuk mengelakkan percanggahan, kita akan mengambil semua pangkalan ijazah dalam tanda kurungan yang berbeza dari bilangan semula jadi. Sebagai contoh, kami memberikan tahap berikut dengan penunjuk semulajadi, pangkalan mereka bukan nombor semula jadi, jadi ia ditulis dalam kurungan. Nah, untuk kejelasan lengkap pada masa ini, kami menunjukkan perbezaan yang terdapat dalam rekod borang (-2) 3 dan -2 3. Ungkapan (-2) 3 adalah darjah bilangan negatif -2 dengan indeks semulajadi 3, dan ungkapan -2 3 (dapat ditulis sebagai - (2 3)) sesuai dengan angka yang bertentangan dengan nilai gelar 2 3.

Perhatikan bahawa terdapat notasi untuk ijazah dengan indeks n bentuk a ^ n. Selain itu, jika n adalah integer positif multivalued, maka eksponen diambil dalam kurungan. Sebagai contoh, 4 ^ 9 adalah kemasukan ijazah 4 9 lagi. Berikut adalah beberapa lagi contoh darjah rakaman yang menggunakan simbol "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Dalam perkara berikut, kami akan menggunakan notasi untuk tahap bentuk n.

Definisi di atas membolehkan untuk mencari nilai ijazah dengan penunjuk semulajadi. Untuk melakukan ini, kirakan produk n sama faktor sama dengan a. Topik ini patut dipertimbangkan secara terperinci dalam artikel berasingan - lihat eksponensi dengan penunjuk semula jadi.

Salah satu tugas, kebalikan dari pembinaan dengan penunjuk semulajadi, adalah masalah untuk mencari asas ijazah dengan nilai ijazah diketahui dan petunjuk yang diketahui. Tugas ini membawa kepada konsep akar daripada nombor.

Ia juga bernilai meneroka sifat gelaran dengan indeks semulajadi, yang mengikut definisi darjah dan sifat pendaraban.

Ijazah dengan integer

Setelah kita menentukan tahap a dengan indeks semulajadi, keinginan logik timbul untuk memperluas pengertian ijazah dan bergerak ke derajat nombor, dimana setiap integer, termasuk negatif dan sifar, akan menjadi penunjuk. Ini perlu dilakukan sedemikian rupa supaya semua sifat gelaran dengan indeks semulajadi masih sah, kerana bilangan semulajadi adalah sebahagian daripada integer.

Tahap a dengan integer positif tidak lebih dari kuasa a dengan eksponen semulajadi: dimana n adalah integer positif.

Sekarang kita mentakrifkan kuasa sifar a. Marilah kita meneruskan dari harta kekuasaan separa dengan asas yang sama: untuk nombor semula jadi m dan n, m m: a = n m a n (keadaan ≠ 0 adalah perlu, kerana sebaliknya kita akan mempunyai pembahagian dengan sifar). Untuk m = n, kesamaan bertulis membawa kepada hasil yang berikut: a: a = a n - n = a 0. Tetapi sebaliknya, n: a n = 1 sebagai quotient nombor yang sama n dan n. Oleh itu, kita perlu menerima 0 = 1 untuk mana-mana nombor sebenar bukan a.

Tetapi bagaimana dengan sifar hingga tahap sifar? Pendekatan yang digunakan dalam perenggan terdahulu tidak sesuai untuk kes ini. Kita boleh ingat sifat produk darjah dengan pangkalan yang sama dengan m = n = a m + n, khususnya, apabila n = 0, kita mempunyai m · a 0 = a m (kesamaan ini juga menunjukkan bahawa 0 = 1). Walau bagaimanapun, bagi a = 0, kita dapat memperoleh kesamaan 0 m · 0 0 = 0 m, yang boleh ditulis semula sebagai 0 = 0, adalah benar bagi mana-mana m semula jadi, tidak kira apa nilai ungkapan 0 0 adalah sama. Dalam erti kata lain, 0 0 boleh sama dengan mana-mana nombor. Untuk mengelakkan kekaburan ini, kami tidak akan memberikan sifar kepada kuasa sifar apa-apa makna (atas sebab yang sama, semasa belajar bahagian, kita tidak memberi makna kepada ungkapan 0: 0).

Ia adalah mudah untuk menyemak bahawa keputusan kita ada persamaan a 0 = 1 untuk integer bukan sifar harta yang selaras dengan ijazah dalam darjah (m a) n = m a · n. Malah, apabila n = 0, kita ada (a m) 0 = 1 dan m · 0 = a 0 = 1, dan apabila m = 0, kita ada (a 0) n = 1 n = 1 dan 0 · n = a 0 = 1.

Oleh itu, kami mendapat definisi ijazah dengan penunjuk sifar. Tahap a dengan eksponen sifar (nombor nyata bukan sifar) adalah satu, iaitu, 0 = 1 untuk ≠ 0.

Marilah kita memberi contoh: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1, dan 0 0 tidak ditakrifkan.

Gelaran sifar nombor a ditentukan, ia tetap untuk menentukan tahap integer negatif nombor a. Ini akan membantu kita semua harta yang sama dari produk darjah dengan pangkalan yang sama m · a n = a m + n. Andaikan m = -n, yang memerlukan syarat-syarat a ≠ 0, maka -n a · a n = a-n + n = a 0 = 1, dari mana kita membuat kesimpulan bahawa n, dan yang -n - nombor songsang. Oleh itu, adalah logik untuk menentukan bilangan a kepada ijazah integer negatif -n sebagai pecahan. Ia adalah mudah untuk mengesahkan bahawa ini menetapkan tahap beberapa bukan sifar dengan indeks negatif semua hartanah kekal Tahap sebenar dengan penunjuk semula jadi (lihat hartanah dengan penunjuk darjah), yang kita bercita-cita.

Mari bacakan takrif darjah dengan indeks negatif keseluruhan. Tahap a dengan integer negatif -n (nombor sebenar bukan sifar) adalah pecahan, iaitu, dengan ≠ 0 dan integer positif n.

Pertimbangkan takrif darjah ini dengan integer negatif pada contoh tertentu :.

Huraikan maklumat item ini.

Tahap a dengan integer z ditakrifkan sebagai:

Ijazah dengan petunjuk rasional

Dari eksponen integer nombor a, peralihan kepada penunjuk rasional mencadangkan dirinya. Di bawah ini kita mentakrifkan ijazah dengan penunjuk yang rasional, dan kita akan melakukannya dengan cara sedemikian supaya semua sifat darjah dengan penunjuk keseluruhan dipelihara. Ini perlu kerana integer adalah sebahagian daripada nombor rasional.

Adalah diketahui bahawa set nombor nisbah terdiri daripada bulat dan nombor pecahan, di mana setiap nombor pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Darjah dengan ukuran kita yang dikenal pasti dalam perenggan yang terdahulu, lebih untuk disiapkan penentuan taraf dengan eksponen rasional, adalah perlu untuk memahami tahap pecahan eksponen m / n, di mana m - integer dan n - semula jadi. Mari kita lakukannya.

Pertimbangkan gelaran dengan eksponen pecahan. Dalam usaha untuk mendapatkan gelar sarjana yang sah, persamaan mestilah dipenuhi. Jika kita mengambil kira kesamaan yang diperoleh dan bagaimana kita menentukan akar tahap n, maka adalah logik untuk diterima, dengan syarat bahawa m, n dan a, ungkapan itu masuk akal.

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa semua sifat ijazah dengan penunjuk integer adalah sah (ini dilakukan dalam bahagian pada sifat ijazah dengan penunjuk rasional).

Hujah ini membawa kepada kesimpulan berikut: jika m data, n, dan adalah satu ungkapan yang bermaksud kuasa eksponen m pecahan / n dipanggil akar ijazah n-ke-dari ijazah dalam m.

Kenyataan ini membawa kita dengan jelas kepada definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Ia tetap hanya untuk menulis, yang mana m, n dan ungkapan yang masuk akal. Bergantung pada kekangan yang dikenakan pada m, n, dan a, terdapat dua pendekatan asas.

Ia adalah mudah untuk mengenakan sekatan ke atas, dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a> 0 untuk m negatif (kerana untuk m≤0, ijazah 0 m tidak ditakrifkan). Kemudian kita dapat definisi gelaran berikut dengan eksponen pecahan.

Tahap nombor positif dengan eksponen m pecahan / n, di mana m - integer, dan n - integer, dipanggil akar n-ke-beberapa m ijazah, iaitu.

Tahap pecutan sifar juga ditentukan dengan satu-satunya reservasi bahawa penunjuk harus positif.

Tahap sifar dengan indeks fraktional positif m / n, di mana m adalah integer positif dan n adalah integer positif, ditakrifkan sebagai.
Apabila ijazah tidak ditentukan, iaitu, tahap nombor sifar dengan penunjuk negatif fraksional tidak masuk akal.

Perlu diingatkan bahawa dengan definisi ini Ijazah indeks pecahan, terdapat satu kaveat: jika beberapa negatif dan beberapa yang, m dan n mempunyai makna ungkapan itu, maka kami telah menurun kes-kes ini, memasuki keadaan a≥0. Sebagai contoh, mempunyai makna atau rakaman, dan definisi di atas membawa kita untuk mengatakan bahawa tahap spesies penunjuk pecahan tidak masuk akal, kerana asas tidak perlu menjadi negatif.

Satu lagi pendekatan untuk menentukan ijazah dengan pecahan m / n adalah untuk mempertimbangkan indeks akar walaupun dan ganjil secara berasingan. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: tahap, yang merupakan petunjuk vulgaris cancellative pecahan, dianggap sebagai kuasa, yang adalah indeks yang sepadan dengan pecahan tak terturunkan (kepentingan keadaan ini akan jelaskan di bawah). Iaitu, jika m / n adalah pecahan yang tidak boleh ditolak, maka bagi mana-mana bilangan semula jadi k, ijazah digantikan oleh.

Untuk walaupun n dan m ungkapan positif bermakna bagi apa-apa bukan negatif (walaupun akar tahap nombor negatif tidak masuk akal), dengan beberapa m negatif harus lebih daripada sifar (jika tidak ia akan membahagi dengan sifar). Dan untuk n ganjil dan nombor positif m yang boleh menjadi apa-apa (root ganjil darjah ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata), dan apabila beberapa m negatif harus bukan sifar (untuk mengelakkan membahagi dengan sifar).

Pemikiran di atas membawa kami kepada takrifan seperti ijazah dengan eksponen pecahan.

Biarlah m / n menjadi pecahan yang tidak dapat dibuktikan, m menjadi integer, dan n menjadi integer positif. Untuk apa-apa pecahan yang boleh mengurangkan, ijazah digantikan oleh. Tahap a dengan eksponen fraksional m / n adalah untuk

• sebarang nombor sebenar a, integer positif m dan integer ganjil positif, contohnya;
• sebarang nombor nyata bukan sifar a, keseluruhan m negatif, dan n ganjil, sebagai contoh;
• sebarang nombor bukan negatif a, integer positif m dan bahkan n, contohnya;
• sebarang positif a, integer negatif m dan bahkan n, sebagai contoh;
• dalam kes lain, tahap dengan eksponen pecahan tidak ditakrifkan, sebagai contoh, darjah tidak ditakrifkan.

Biar kami terangkan mengapa sejauh Contractile eksponen pecahan sebelum ini digantikan dengan tahap penunjuk boleh dikurangkan. Jika kita hanya ditakrifkan sebagai ijazah, dan tidak dinyatakan pada irreducibility m / n pecahan, kita akan berhadapan dengan situasi yang sama kepada yang berikut: sejak 6/10 = 3/5, kemudian kesaksamaan, tetapi sebaliknya.

Perhatikan bahawa takrif pertama ijazah dengan indeks pecahan lebih mudah digunakan daripada yang kedua. Oleh itu, kami akan menggunakannya pada masa akan datang.

tahap jumlah positif yang pecahan eksponen m / n kita takrifkan sebagai negatif untuk rekod kita tidak melampirkan apa-apa perasaan, tahap sifar, kita takrifkan untuk positif atlet pecahan m / n Adapun eksponen pecahan negatif sifar tidak ditakrifkan.

Sebagai kesimpulan dari perenggan ini, kami menarik perhatian kepada fakta bahawa eksponen pecahan dapat ditulis dalam bentuk pecahan perpuluhan atau bilangan campuran, contohnya,. Untuk mengira nilai-nilai ungkapan jenis ini, anda perlu menulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa, dan kemudian gunakan definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Untuk contoh yang ditunjukkan, kami ada dan.

Ijazah dengan petunjuk yang tidak rasional dan sah

Adalah diketahui bahawa set nombor nyata boleh dianggap sebagai kesatuan set nombor rasional dan tidak rasional. Oleh itu, ijazah dengan petunjuk yang sah boleh dianggap ditentukan apabila ijazah dengan penunjuk rasional dan ijazah dengan penunjuk tidak rasional ditentukan. Kami bercakap tentang tahap dengan penunjuk rasional dalam perenggan yang terdahulu, ia tetap untuk menangani tahap dengan penunjuk yang tidak rasional.

Konsep derajat a dengan indeks tidak rasional akan didekati secara beransur-ansur.

Biarlah urutan rentetan takrif nombor tidak rasional. Sebagai contoh, ambil nombor yang tidak rasional, maka anda boleh menerima, atau, dsb. Perlu diingat bahawa nombor itu adalah rasional.

Urutan angka rasional sepadan dengan turutan darjah, dan kita boleh mengira nilai darjah-darjah ini berdasarkan bahan penjanaan artikel ke derajat rasional. Sebagai contoh, ambil a = 3, dan kemudian, dan selepas menaikkan kuasa, kita dapati.

Akhirnya, urutan itu menumpuk kepada nombor tertentu, yang merupakan nilai kuasa dengan eksponen yang tidak rasional. Marilah kita kembali kepada contoh kita: ijazah dengan penunjuk yang tidak rasional bentuk menumpu kepada nombor yang bersamaan dengan 6.27 dengan ketepatan seperseratus.

Tahap nombor positif a dengan indeks tidak rasional adalah ungkapan yang nilainya sama dengan had urutan, di mana anggaran perpuluhan berturut-turut nombor tidak rasional.

Tahap angka sifar ditentukan untuk petunjuk rasional yang positif, dengan ini. Contohnya,. Dan tahap nombor 0 dengan penunjuk tidak rasional negatif tidak ditentukan, sebagai contoh, tidak ditakrifkan.

Secara berasingan, perlu dikatakan mengenai tahap deria yang tidak rasional - unit dalam mana-mana darjah irasional adalah sama dengan 1. Sebagai contoh, dan.

Akar dan darjah

Ijazah

Ijazah adalah ungkapan bentuk :, di mana:

• - asas ijazah;
• - eksponen.

Ijazah dengan penunjuk semulajadi

Kami mendefinisikan konsep ijazah yang indeksnya adalah nombor semulajadi (iaitu integer dan positif).

1. Mengikut definisi :.
2. Untuk memasangkan nombor adalah untuk melipatgandakannya dengan sendirinya:
3. Untuk membina nombor ke dalam kiub bermakna melipatgandakan dengan sendirinya tiga kali :.

Meningkatkan nombor ke peringkat semula jadi bermakna mengalikan nombor dengan sendirinya sekali lagi:

Ijazah dengan integer

Jika eksponen adalah integer positif:

, n> 0

Ketinggian kepada tahap sifar:

, a ≠ 0

Jika eksponen adalah integer negatif:

, a ≠ 0

Nota: ungkapan tidak ditakrifkan, dalam kes n ≤ 0. Jika n> 0, maka

Ijazah dengan petunjuk rasional

• a> 0;
• n adalah nombor semulajadi;
• m adalah integer;

Sifat darjah

Root

Aritmetik kuasa dua

Persamaan mempunyai dua penyelesaian: x = 2 dan x = -2. Ini adalah nombor yang segi empatnya ialah 4.

Pertimbangkan persamaan. Mari kita buat graf fungsi dan lihat bahawa persamaan ini juga mempunyai dua penyelesaian, satu positif, negatif yang lain.

Tetapi dalam kes ini, penyelesaian tidak integer. Lebih-lebih lagi, mereka tidak rasional. Untuk menulis keputusan rasional ini, kami memperkenalkan watak akar persegi khas.

Aritmetik kuasa dua adalah nombor bukan negatif, iaitu persegi, ≥ 0. Apabila a

Tahap dan sifatnya. Penentuan tahap

Seksyen: Matematik

Memperkenalkan pelajar dengan sifat darjah dengan petunjuk semulajadi dan mengajar bagaimana melakukan tindakan dengan darjah.

Topik "Ijazah dan sifatnya" merangkumi tiga soalan:

• Penentuan ijazah dengan penunjuk semulajadi.
• Pendaraban dan pembahagian kuasa.
• Meningkatkan tahap produk dan ijazah.

Merumuskan definisi ijazah dengan indeks semulajadi yang lebih besar daripada 1. Berikan contoh.

Merumuskan definisi ijazah dengan penunjuk 1. Beri contoh.

Apakah susunan tindakan apabila mengira nilai ungkapan yang mengandungi ijazah?

Merumuskan harta asas ijazah. Beri contoh.

Merumuskan peraturan pendaraban derajat dengan pangkalan yang sama. Beri contoh.

Merumuskan peraturan membahagikan darjah dengan pangkalan yang sama. Beri contoh.

Merumuskan peraturan untuk tahap kerja. Beri contoh. Buktikan identiti (ab) n = a n • b n.

Merumuskan peraturan eksponensi ijazah. Beri contoh. Buktikan identiti (m) n = a m n.

Tahap a dengan indeks semulajadi n lebih besar daripada 1 adalah produk dari faktor n, masing-masing adalah a. Tahap a dengan indeks 1 ialah nombor itu sendiri.

Tahap dengan asas a dan indeks n ditulis seperti berikut: a. Baca "a ke kuasa n"; "Kuasa ke-n".

Secara definisi, ijazah:

Mencari nilai ijazah dipanggil exponentiation.

1. Contoh eksponensi:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Bayangkan dalam bentuk nombor persegi: 25; 0.09;

25 = 5 2; 0.09 = (0.3) 2;.

3. Hadirkan dalam bentuk kiub nombor:

27 = 3 3; 0.001 = (0.1) 3; 8 = 2 3.

4. Cari nilai-nilai ungkapan:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Tulis kerja sebagai ijazah:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Hadir dalam bentuk nombor persegi:

3. Hadirkan dalam bentuk kiub nombor:

4. Cari nilai-nilai ungkapan:

Untuk sebarang nombor dan sebilangan nombor m dan n:

a m a n = a m + n.

Peraturan: Apabila mendarabkan darjah dengan pangkalan yang sama, pangkalan-pangkalan dibiarkan tidak berubah, dan eksponen ditambah bersama-sama.

a m a a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Hadir sebagai ijazah:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0.01 • 0.1 3 = 0.1 2 • 0.1 3 = 0.1 5

2. Hadir sebagai ijazah dan cari nilai dalam jadual:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Hadir sebagai ijazah:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0.3 3 • 0.09

2. Hadir sebagai ijazah dan cari nilai dalam jadual:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Untuk mana-mana bilangan bilangan 0 dan bilangan bulat positif sewenang-wenang m dan n, maka m> n adalah benar:

a m: a n = a m - n

a - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

mengikut definisi swasta:

a m: a n = a m - n.

Peraturan: Apabila membahagikan darjah dengan pangkalan yang sama, asasnya dibiarkan sama, dan gelaran pembahagi dikurangkan dari eksponen.

Definisi: Tahap yang tidak sama dengan sifar, dengan eksponen sifar sama dengan satu:

Nombor Tahap nombor.

Fakta diketahui bahawa jumlah beberapa komponen yang sama boleh didapati dengan menggunakan pendaraban. Sebagai contoh: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Ekspresi sedemikian dikatakan sebagai jumlah komponen yang sama berubah menjadi produk. Dan sebaliknya, jika kita baca kesamaan ini dari kanan ke kiri, kita dapati bahawa kita telah memperluas jumlah istilah yang sama. Begitu juga, seseorang boleh meruntuhkan produk beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Iaitu, bukannya mendarabkan enam faktor yang sama 5x5x5x5x5x5, mereka menulis 5 6 dan mengatakan "lima ke tahap keenam".

Ungkapan 5 6 adalah kuasa nombor, di mana:

5 - asas ijazah;

6 - eksponen.

Tindakan yang mana produk yang sama faktor diminimumkan kepada kuasa dipanggil exponentiation.

Secara umum, ijazah dengan asas "a" dan indeks "n" ditulis sebagai

Untuk menaikkan nombor a kepada kuasa n bermakna mencari produk dari faktor n, masing-masing adalah a

Jika asas ijazah "a" adalah 1, maka nilai ijazah untuk mana-mana n semula jadi adalah 1. Sebagai contoh, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Sekiranya kita menaikkan nombor "a" ke ijazah pertama, kita akan mendapat nombor itu sendiri: 1 = a

Jika kita menaikkan mana-mana nombor ke tahap sifar, maka akibat pengiraan yang kita dapati satu. a 0 = 1

Khas menganggap nombor darjah kedua dan ketiga. Bagi mereka datang dengan nama: ijazah kedua dipanggil segi empat nombor, ketiga - kiub nombor ini.

Mana-mana nombor boleh dinaikkan kepada kuasa - positif, negatif atau sifar. Ia tidak menggunakan peraturan berikut:

-dengan mencari derajat nombor positif, nombor positif diperolehi.

-apabila mengira sifar dalam ijazah semulajadi, kita mendapat sifar.

- apabila mengira derajat nombor negatif, hasilnya boleh menjadi nombor positif dan nombor negatif. Ia bergantung kepada sama ada eksponen itu ganjil atau ganjil.

Sekiranya kita menyelesaikan beberapa contoh mengenai mengira tahap nombor negatif, maka ternyata jika kita mengira satu derajat ganjil dari nombor negatif, hasilnya akan menjadi nombor dengan tanda tolak. Oleh kerana, apabila mendarabkan bilangan ganjil negatif faktor, kita memperoleh nilai negatif.

Jika kita mengira ijazah walaupun untuk nombor negatif, maka hasilnya akan menjadi nombor positif. Oleh kerana, apabila mendarabkan beberapa faktor negatif, kami memperoleh nilai positif.

Sifat sifat dengan penunjuk semulajadi.

Untuk mendarabkan darjah dengan pangkalan yang sama, kita tidak mengubah pangkalan, dan menambah eksponen darjah:

contohnya: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+ (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Untuk memisahkan darjah dengan asas yang sama, kita tidak mengubah asas, tetapi tolak eksponen:

contohnya: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Apabila mengira eksponensi ijazah, kita tidak mengubah asas, dan melipatgandakan eksponen darjah.

contohnya: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Jika perlu untuk mengira pendirian kepada tahap produk, maka setiap faktor dinaikkan ke tahap ini.

contohnya: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Apabila melakukan pengiraan pada pembinaan pecahan, kami menaikkan pengangka dan penyebut pecahan kepada kuasa ini.

contohnya: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Urutan pengiraan apabila bekerja dengan ungkapan yang mengandungi gelaran.

Apabila melakukan perhitungan, ungkapan tanpa tanda kurung, tetapi mengandungi derajat, pertama sekali melaksanakan eksponensi, kemudian membagikan dan membahagikan tindakan, dan kemudian hanya menambah dan menolak operasi.

Sekiranya perlu mengira ungkapan yang mengandungi kurungan, maka terlebih dahulu mengikut susunan yang dinyatakan di atas, kami membuat pengiraan dalam kurungan, dan kemudian tindakan yang tersisa dalam susunan yang sama dari kiri ke kanan.

Sangat banyak dalam pengiraan praktikal untuk memudahkan pengiraan menggunakan jadual siap darjah.

Terangkan bagaimana untuk mencari kuasa nombor

Jimat masa dan tidak melihat iklan dengan Knowledge Plus

Jimat masa dan tidak melihat iklan dengan Knowledge Plus

Jawapannya

Jawapannya diberikan

19kot

Sambung Pengetahuan Plus untuk mengakses semua jawapan. Cepat, tanpa iklan dan rehat!

Jangan ketinggalan yang penting - sambungkan Knowledge Plus untuk melihat jawapan sekarang.

Tonton video untuk mengakses jawapannya

Oh tidak!
Pandangan Tindak Balas Adakah Lebih

Sambung Pengetahuan Plus untuk mengakses semua jawapan. Cepat, tanpa iklan dan rehat!

Jangan ketinggalan yang penting - sambungkan Knowledge Plus untuk melihat jawapan sekarang.

Tonton video untuk mengakses jawapannya

Oh tidak!
Pandangan Tindak Balas Adakah Lebih

• Komen
• Pelanggaran Mark

Jawapannya

Jawapannya diberikan

Nadirka212

Perkara yang paling munasabah ialah menguraikan nombor ke dalam faktor utama, maka anda dapat mencari asas dan eksponen.
Jika pangkalan diketahui, maka penunjuk boleh didapati dengan logaritmisasi, contohnya,
2 ^ x = 8
Untuk mencari x, anda perlu mengira kedua-dua bahagian asas 2
x = log masuk asas 2 dari 8 = ln 8 / ln 2 (ini boleh dikira pada kalkulator) = 3
Sekiranya penunjuk diketahui, pangkalan itu dijumpai dengan mengeluarkan akar, sebagai contoh,
x ^ 3 = 8
ekstrak akar kubik dari kedua-dua bahagian
x = akar kubik 8 = 2

Sekiranya tidak mengetahui satu atau yang lain, menguraikan nombor ke dalam faktor utama, ini dilakukan dengan membahagikan nombor menjadi faktor utama
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 tidak boleh dibahagikan dengan 2, dengan 3, dengan 5 (berturut-turut berulang atas nombor prima)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Jumlah kami dibahagikan sebanyak 2 lapan kali dan 7 kali empat kali, oleh itu
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Jika kita ingin mencari representasi dalam bentuk a b dengan semulajadi a dan b dan b mesti maksimal, maka sebagai b kita mesti mengambil GCD darjah yang diperolehi dalam penguraian menjadi faktor utama, iaitu dalam kes ini b = GCD (8.4) = 4
asas ijazah adalah 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Tahap dan sifatnya. Tahap permulaan.

Ijazah adalah ungkapan bentuk :, di mana:

Ijazah dengan integer

tahap daripadanya adalah bilangan semulajadi (iaitu integer dan positif).

Ijazah dengan petunjuk rasional

tahapnya adalah angka negatif dan pecahan.

Ijazah dengan eksponen yang tidak rasional

ijazah yang eksponennya adalah pecahan tak terhingga atau akar tak terhingga.

Sifat darjah

Ciri darjah.

• Nombor negatif yang dibangkitkan kepada kuasa juga adalah nombor positif.
• Nombor negatif yang dibangkitkan kepada kuasa ganjil adalah nombor negatif.
• Nombor positif ke tahap apa pun adalah nombor positif.
• Zero adalah sama dengan ijazah mana-mana.
• Mana-mana nombor adalah ijazah sifar.

Apakah kuasa nombor itu?

Exponentiation adalah operasi matematik yang sama sebagai tambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menjelaskan segala-galanya dalam bahasa manusia dengan contoh yang sangat mudah. Berhati-hati. Contoh-contoh adalah asas, tetapi menjelaskan perkara-perkara penting.

Mari kita mulakan dengan tambahan itu.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kita. Masing-masing mempunyai dua botol cola. Berapa banyakkah cola? Benar - 16 botol.

Sekarang bertambah banyak.

Contoh yang sama dengan Coke boleh ditulis dengan berbeza :. Ahli matematik adalah orang yang licik dan malas. Mereka mula-mula melihat beberapa pola, dan kemudian datang dengan cara untuk cepat "mengira" mereka. Dalam kes kita, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai jumlah botol kola yang sama dan datang dengan alat yang dikenali sebagai pendaraban. Mengaku ia dianggap lebih mudah dan cepat daripada.

Berikut adalah jadual pendaraban. Ulang.
Oleh itu, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan, anda hanya perlu mengingati jadual pendaraban. Sudah tentu, anda boleh melakukan semuanya lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi...

Berikut adalah jadual pendaraban. Ulang.

Dan yang lain, lebih cantik:

Apa cara yang lebih bijak akaun dicipta oleh ahli matematik yang malas? Betul - pengenalan nombor dalam ijazah.

Menaikkan nombor kepada kuasa.

Sekiranya anda perlu mengalikan bilangan dengan sendirinya sebanyak lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu membina nombor ini ke tahap kelima. Contohnya,. Ahli-ahli matematik ingat bahawa dua hingga ke peringkat kelima adalah ini. Dan selesaikan teka-teki seperti itu - cepat, mudah dan tanpa kesilapan.

Untuk melakukan ini, hanya ingat apa yang diserlah dalam warna dalam jadual derajat nombor. Percayalah, ini akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

Dengan cara itu, mengapa gelaran kedua dipanggil persegi nombor, dan ketiga - kiub? Apa maksudnya? Soalan yang sangat baik. Sekarang anda akan mempunyai petak dan kiub.

Contoh dari kehidupan №1.

Mari kita mulakan dengan nombor sarjana atau kedua.

Bayangkan satu meter persegi berukuran meter dengan meter. Kolam renang ada di dacha anda. Panas dan benar-benar mahu berenang. Tetapi... kolam tanpa bawah! Ia perlu meletakkan bahagian bawah jubin kolam. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui bahagian bawah kolam.

Anda hanya boleh mengira, merapatkan jari, bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter per meter. Sekiranya anda mempunyai meter jubin dengan meter, anda memerlukan potongan. Sangat mudah... Tetapi di manakah anda melihat jubin semacam itu? Jubin akan lebih cenderung melihat cm Dan kemudian anda akan disiksa oleh "jari". Kemudian anda perlu berlipat ganda. Oleh itu, di satu bahagian bawah kolam, kita akan menyesuaikan jubin (kepingan) dan juga jubin lain. Mengalikan dengan, anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa untuk menentukan kawasan bawah kolam, kami mengalikan bilangan yang sama dengan sendirinya? Apa maksudnya? Apabila nombor yang sama didarab, kita boleh menggunakan teknik "eksponensi". (Sudah tentu, apabila anda mempunyai hanya dua nombor, anda masih membiaknya atau menaikkannya kepada kuasa.Tetapi jika anda mempunyai banyak, kemudian meningkatkannya kepada kuasa adalah lebih mudah dan ralat pengiraan juga kurang.Untuk Peperiksaan Unified State ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh ke tahap kedua ialah (). Atau anda boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, tahap kedua nombor boleh selalu diwakili sebagai segi empat. Sebaliknya, jika anda melihat persegi, SELALU kuasa kedua nombor tertentu. Satu persegi ialah imej derajat kedua nombor.

Contoh dari kehidupan №2.

Berikut adalah tugas untuk anda, hitung berapa banyak segiempat di papan catur dengan bantuan segi empat daripada nombor. Di satu sisi sel dan juga yang lain. Untuk mengira nombor mereka, anda perlu mengalikan lapan dengan lapan, atau... jika anda melihat bahawa papan catur adalah persegi dengan sisi, maka anda boleh membina lapan ke dalam alun. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh dari kehidupan nombor 3.

Kini kiub atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu tahu berapa banyak air yang anda perlu tuangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira jumlahnya. (Jilid dan cecair, dengan cara itu, diukur dalam meter padu. Tanpa diduga, kan?) Lukiskan kolam: bahagian bawah adalah satu meter dalam saiz dan satu meter mendalam dan cuba untuk mengira berapa banyak kiub dalam meter ke meter akan masuk ke dalam kolam anda.

Cubalah jari dan menghitung! Satu, dua, tiga, empat... dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang berlaku? Tidak keluar Adakah sukar dikira dengan jari? Itu sahaja! Ambil contoh ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka menyedari bahawa untuk mengira jumlah kolam, perlu memperbanyak satu sama lain panjang, lebar dan ketinggiannya. Dalam kes kami, jumlah kolam akan sama dengan kiub... Adakah lebih mudah, bukan?

Dan sekarang bayangkan bagaimana ahli matematik malas dan licik, jika mereka mempermudahkannya juga. Dibawa semua untuk satu tindakan. Mereka menyedari bahawa panjang, lebar dan ketinggian adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya... Dan apa maksudnya? Ini bermakna anda boleh menggunakan ijazah. Oleh itu, apa yang anda pernah dikira sebagai jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga di dalam kubus adalah sama. Ia ditulis dengan cara ini :.

Ia hanya untuk mengingati jadual darjah. Jika anda, sudah tentu, adalah malas dan licik sebagai ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan membuat kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa darjah dicipta oleh penghapus dan penipu untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, di sini adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh dari kehidupan №4.

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada permulaan setiap tahun anda memperolehi setiap juta juta lagi. Iaitu, setiap juta anda pada awal setiap tahun adalah dua kali ganda. Berapa banyak wang yang akan anda miliki dalam tahun? Jika anda duduk dan "mengira jari", maka anda adalah orang yang sangat rajin dan... bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda pintar! Jadi, pada tahun pertama - dua kali dua... pada tahun kedua - apa yang berlaku, oleh dua lagi, pada tahun ketiga... Hentikan! Anda menyedari bahawa bilangan tersebut didarab dengan sendirinya sekali. Jadi, dua hingga kelima - sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai persaingan dan mereka yang menerima jutaan akan lebih cepat mengira... Perlu diingat tahap darjah, bagaimana pendapat anda?

Contoh dari kehidupan nombor 5.

Anda mempunyai satu juta. Pada permulaan setiap tahun anda memperolehi setiap juta dua lagi. Wow, betul? Setiap juta tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan dapat dalam setahun? Mari kita hitung. Tahun pertama adalah untuk berlipat ganda oleh, maka hasilnya masih melalui... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga kali ia didarab dengan sendirinya. Maka pada tahap keempat adalah sama dengan satu juta. Anda hanya perlu ingat bahawa tiga ke peringkat keempat adalah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan bantuan meningkatkan jumlah kepada kuasa, anda akan dapat memfasilitasi kehidupan anda. Mari lihat lebih lanjut mengenai apa yang boleh anda lakukan dengan darjah dan apa yang anda perlu tahu mengenainya.

Terma dan konsep.

Maka mari kita mulakan dengan mendefinisikan konsep. Apa yang anda fikir adalah eksponen? Ia sangat mudah - ini adalah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi difahami dan mudah diingat...

Jadi pada masa yang sama, apakah asas ijazah itu? Malah lebih mudah adalah nombor di bahagian bawah, di bahagian bawah.

Berikut adalah gambar kesetiaan anda.

Secara umum, untuk meringkaskan dan lebih baik ingat... Ijazah dengan asas " dan penunjuk " dibaca sebagai "ijazah" dan ditulis seperti berikut:

Selanjutnya, mengapa sebut "tahap nombor dengan penunjuk semulajadi"?

"Tahap angka dengan penunjuk semulajadi"

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen adalah nombor semulajadi. Ya, tetapi apakah nombor semula jadi? Elementary! Nombor semulajadi adalah yang digunakan dalam akaun apabila menyenaraikan item: satu, dua, tiga... Apabila kita mengira item, kita tidak mengatakan: "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh". Kami juga tidak mengatakan: "satu pertiga", atau "titik sifar, lima sepuluh". Ini bukan nombor semula jadi. Dan apakah nombor-nombor ini seperti yang anda fikirkan?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor integer. Umumnya, nombor integer termasuk semua nombor semula jadi, nombor bertentangan dengan nombor semula jadi (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Zero mudah difahami - ini adalah apabila tiada apa-apa. Dan apakah maksud negatif ("negatif")? Tetapi mereka dicipta terlebih dahulu untuk menetapkan hutang: jika anda mempunyai keseimbangan pada telefon dalam rubel, ini bermakna anda berhutang kepada rubel pengendali.

Fraksi dalam bentuk apa pun adalah nombor rasional. Bagaimana mereka datang, apa yang anda fikirkan? Sangat mudah. Beribu-ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka kekurangan bilangan semula jadi untuk mengukur panjang, berat, kawasan, dan sebagainya. Dan mereka datang dengan nombor rasional... Menarik, kan?

Masih ada angka yang tidak rasional. Apakah nombor-nombor ini? Ringkasnya, perpuluhan tak terhingga. Contohnya, jika lilitan dibahagi dengan diameternya, maka nombor tidak rasional diperolehi.

Menyimpulkan:

• Nombor semulajadi adalah nombor yang digunakan semasa mengira, iaitu, dsb.
• Integer - semua nombor semulajadi, nombor semula jadi dengan minus dan nombor 0.
• Nombor pecahan dianggap rasional.
• Nombor irama adalah perpuluhan tak terhingga

Ijazah dengan penunjuk semulajadi

Marilah kita menentukan tanggapan ijazah yang indeksnya adalah nombor semulajadi (iaitu, integer dan positif).

1. Mana-mana nombor dalam ijazah pertama bersamaan dengan dirinya sendiri:
2. Untuk memasangkan nombor adalah untuk melipatgandakannya dengan sendirinya:
3. Untuk membina nombor ke dalam kiub bermakna melipatgandakan dengan sendirinya sebanyak tiga kali:

Definisi Meningkatkan nombor ke peringkat semula jadi bermakna mengalikan nombor dengan sendirinya sekali lagi:
.

Ijazah nombor: definisi, jawatan, contoh

Dalam rangka bahan ini, kita menganalisis sejauh mana angka tersebut. Sebagai tambahan kepada takrifan asas, kami merumuskan darjah yang mempunyai petunjuk semulajadi, keseluruhan, rasional dan tidak rasional. Seperti biasa, semua konsep akan digambarkan dengan contoh tugas.

Darjah dengan eksponen semulajadi: konsep persegi dan kiub nombor

Pertama, kita merumuskan takrif asas darjah dengan indeks semulajadi. Untuk ini kita perlu ingat kaedah asas pendaraban. Marilah kita memperjelaskan terlebih dahulu bahawa sebagai asas yang kita akan buat pada masa ini adalah bilangan sebenar (dilambangkan oleh huruf a), dan sebagai penunjuk, nombor semulajadi (dilambangkan oleh huruf n).

Tahap a dengan indeks semulajadi n adalah hasil nombor faktor n-th, masing-masing bersamaan dengan nombor a. Ijazah itu ditulis seperti ini: a, dan dalam bentuk formula, komposisinya boleh diwakili seperti berikut:

Sebagai contoh, jika eksponen adalah 1 dan pangkalannya adalah, maka kuasa pertama ditulis sebagai 1. Memandangkan bahawa adalah nilai penggandaan, dan 1 ialah bilangan pengganda, kita dapat menyimpulkan bahawa 1 = a.

Secara umum, dapat dikatakan bahawa ijazah adalah bentuk yang mudah untuk merekam sejumlah besar faktor yang sama. Oleh itu, jenis rekod 8 · 8 · 8 · 8 boleh dikurangkan kepada 8 4. Kira-kira kerja yang sama membantu kami untuk mengelakkan menulis sebilangan besar istilah (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); kami telah menganalisa ini dalam artikel yang dikhaskan untuk pendaraban nombor semulajadi.

Bagaimana membaca rekod ijazah? Pilihan yang diterima umum adalah "kepada kuasa n". Atau anda boleh mengatakan "ijazah n-th a" atau "ijazah n-th." Jika, katakan, dalam contoh yang telah kita temui rekod 8 12, kita boleh membaca "8 hingga ijazah ke-12", "8 ke ijazah 12" atau "ijazah ke-12 ke ke-8".

Nombor ijazah kedua dan ketiga mempunyai nama mereka yang terkenal: persegi dan kubus. Jika kita melihat ijazah kedua, sebagai contoh, nombor 7 (7 2), maka kita boleh katakan "7 kuasa dua" atau "segi empat daripada nombor 7". Begitu juga, gelaran ketiga berbunyi seperti ini: 5 3 ialah "kubus nombor 5" atau "5 dalam kubus." Walau bagaimanapun, ia juga mungkin menggunakan perkataan standard "dalam tahap kedua / ketiga", ia tidak akan menjadi kesilapan.

Marilah kita mengkaji satu contoh ijazah dengan petunjuk semulajadi: untuk 5 7, lima akan menjadi asas, dan tujuh - penunjuk.

Asas tidak perlu integer: untuk ijazah (4, 32) 9, asas akan menjadi pecahan 4, 32, dan penunjuk akan sembilan. Beri perhatian kepada kurungan: kemasukan sedemikian dibuat untuk semua darjah yang pangkalannya berbeza daripada nombor semula jadi.

Sebagai contoh: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Apakah tanda kurung itu? Mereka membantu mengelakkan kesilapan dalam pengiraan. Katakan kita mempunyai dua entri: (- 2) 3 dan - 2 3. Yang pertama ini bermakna nombor negatif tolak dua, dibangkitkan kepada kuasa dengan indeks semulajadi tiga; yang kedua ialah angka yang bersamaan dengan nilai yang bertentangan ijazah 2 3.

Kadang-kadang dalam buku-buku seseorang dapat mencari ejaan yang sedikit berbeza dari kuasa nombor - a ^ n (di mana a adalah pangkalan dan n adalah penunjuk). Iaitu, 4 ^ 9 adalah sama dengan 4 9. Sekiranya n adalah nombor multivaluasi, ia diambil dalam kurungan. Sebagai contoh, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Tetapi kita akan menggunakan notasi n sebagai lebih biasa.

Bagaimana untuk mengira nilai ijazah dengan indeks semulajadi mudah ditebak dari takrifannya: anda hanya perlu mengalikan bilangan n kali. Lebih lanjut mengenai ini, kami menulis dalam artikel lain.

Konsep gelar adalah bertentangan dengan konsep matematik yang lain - akar nombor. Jika kita tahu nilai ijazah dan eksponen, kita dapat mengira asasnya. Ijazah ini mempunyai beberapa ciri khusus yang berguna untuk menyelesaikan masalah yang telah kita hancurkan dalam bahan yang berasingan.

Apakah ijazah dengan penunjuk keseluruhan

Dari segi darjah, tidak boleh ada nombor semulajadi sahaja, tetapi secara umumnya apa-apa nilai integer, termasuk yang negatif dan nol, kerana ia juga tergolong dalam kumpulan integer.

Tahap nombor dengan integer positif boleh dipaparkan sebagai formula :.

Selain itu, n adalah sebarang integer positif.

Kami akan memahami konsep gelaran sifar. Untuk melakukan ini, kita menggunakan pendekatan yang mengambil kira harta yang khusus untuk kuasa dengan asas yang sama. Ia dirumuskan seperti berikut:

Kesamaan sebuah m: a = a m - n adalah benar di bawah syarat-syarat: m dan n adalah nombor semula jadi, m n, ≠ 0.

Keadaan yang terakhir adalah penting kerana ia mengelakkan pembahagian oleh sifar. Jika nilai-nilai m dan n adalah sama, maka kita dapat hasil yang berikut: a: a = a n - n = a 0

Tetapi pada masa yang sama, n: a = n ialah bilangan yang sama dengan n dan a. Ternyata kuasa sifar mana-mana nombor bukan sifar adalah satu.

Bagaimanapun, bukti ini tidak terpakai kepada sifar hingga ijazah sifar. Untuk ini kita memerlukan harta lain darjah - harta produk darjah dengan asas yang sama. Ia kelihatan seperti ini: a m · a n = a m + n.

Jika n adalah 0, maka m · a 0 = a m (kesamaan ini juga membuktikan kepada kita bahawa 0 = 1). Tetapi jika dan juga adalah sifar, kesaksamaan kita mengambil bentuk 0 m · 0 0 = 0 m, Ini akan benar bagi apa-apa nilai semulajadi n, dan tidak kira apa nilai ijazah adalah 0 0, iaitu, ia boleh sama dengan mana-mana nombor dan ia tidak akan menjejaskan kesetiaan kesaksamaan. Oleh itu, rekod borang 0 0 tidak mempunyai makna tersendiri, dan kami tidak akan mengaitkannya dengannya.

Sekiranya dikehendaki, mudah untuk mengesahkan bahawa 0 = 1 menumpu dengan harta ijazah (a) n = a m · n, dengan syarat bahawa asas ijazah tidak sifar. Oleh itu, tahap sebarang nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah satu.

Mari kita periksa contoh dengan nombor konkrit: Oleh itu, 5 0 adalah unit, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, dan nilai 0 0 tidak ditakrifkan.

Selepas ijazah sifar tetap ada bagi kita untuk mengetahui tahap ijazahnya adalah negatif. Untuk ini, kita memerlukan harta yang sama dari produk darjah dengan asas yang sama, yang telah kita gunakan di atas: a m · a n = a m + n.

Kami memperkenalkan keadaan: m = - n, maka tidak boleh menjadi sifar. Daripada ini ia mengikuti bahawa a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Ternyata bahawa n dan a - n adalah nombor songsang.

Hasilnya, dalam keseluruhan tahap negatif adalah tidak lain daripada pecahan 1 a.

Formulasi sedemikian mengesahkan bahawa untuk tahap dengan indeks keseluruhan negatif semua sifat yang sama seperti ijazah dengan indeks semulajadi (dengan syarat asas itu tidak sifar) adalah sah.

Tahap a dengan integer negatif n boleh diwakili sebagai pecahan 1 a. Oleh itu, a - n = 1 a n di bawah keadaan ≠ 0 dan n adalah sebarang integer positif.

Kami menggambarkan pemikiran kami dengan contoh konkrit:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Di bahagian terakhir perenggan, kami akan cuba menggambarkan semuanya dengan jelas dalam satu formula:

Tahap a dengan z indeks semulajadi adalah: az = az, e dengan l dan z ialah integer a dan z ialah 0 dan z = 0 dan ≠ 0, (p p p dan z = 0 dan a = 0 p o l s u c i s 0 0, yang bermaksud a v o r a c io 0 0 n e O p e f i i i) 1 a, s s dan z ialah a s a r a a a a a a a a a r a a a ≠ 0 ( e sl dan z - ialah integer siri dan a = 0 tanpa henti dengan i 0 z, ego mengenai N ote o p o d ia e c s i)

Apakah eksponen yang rasional?

Kami telah menangani kes di mana integer berada dalam eksponen. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk menaikkan nombor kepada kuasa walaupun nombor pecahan berada dalam indeksnya. Ini dipanggil eksponen rasional. Pada ketika ini, kami membuktikan bahawa ia mempunyai sifat yang sama seperti darjah lain.

Apakah nombor rasional? Set mereka termasuk kedua-dua nombor keseluruhan dan pecahan, manakala nombor pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa (baik positif dan negatif). Kami merumuskan takrif darjah a dengan eksponen fraksional m / n, di mana n adalah integer positif dan m adalah integer.

Kami mempunyai beberapa gelaran dengan eksponen pecahan m n. Agar harta dari darjah hingga ke tahap, kesamaan satu m n = a m n · n = a m mestilah benar.

Dengan mengambil kira takrif akar tahap n-th dan bahawa m n = a m, kita boleh menerima keadaan m n = a m n jika m n masuk akal pada nilai m, n dan a.

Sifat di atas ijazah dengan integer akan benar di bawah keadaan m n = a m n.

Kesimpulan utama dari penalaran kami adalah seperti berikut: derajat bilangan tertentu a dengan eksponen fraksional m / n adalah akar derajat n dari nombor a hingga derajat m. Ini adalah benar jika, bagi nilai m, n dan a, ungkapan ungkapan m n mengekalkan maknanya.

Seterusnya, kita perlu menentukan apa jenis sekatan ke atas nilai-nilai pembolehubah yang mengenakan syarat sedemikian. Terdapat dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

1. Kita boleh mengehadkan nilai asas ijazah: kita ambil, yang bagi nilai-nilai positif m akan lebih besar daripada atau sama dengan 0, dan bagi nilai-nilai negatif, kurang ketat (kerana untuk m ≤ 0 kita dapat 0 m, dan ijazah ini tidak ditakrifkan). Dalam kes ini, penentuan ijazah dengan indeks pecahan adalah seperti berikut:

Tahap dengan eksponen frasa m / n untuk beberapa nombor positif adalah akar n yang dinaikkan kepada kuasa m. Dalam bentuk formula, ini boleh diwakili sebagai:

Untuk ijazah dengan asas sifar, kedudukan ini juga sesuai, tetapi hanya jika indeksnya adalah nombor positif.

Tahap dengan asas sifar dan fraktional positif m / n boleh dinyatakan sebagai

0 m n = 0 m n = 0 di bawah keadaan m positif keseluruhan dan n semula jadi.

Dengan nisbah negatif m n 0, ijazah tidak ditentukan, i.e. Rekod sedemikian tidak masuk akal.

Perhatikan satu perkara. Oleh kerana kita telah memperkenalkan keadaan yang lebih besar daripada atau sama dengan sifar, kita telah menurun beberapa kes.

Ungkapan m n kadang-kadang masih masuk akal untuk beberapa nilai negatif a dan beberapa m. Oleh itu, penyertaan (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 betul, di mana asasnya adalah negatif.

2. Pendekatan kedua adalah untuk mempertimbangkan secara berasingan akar sebuah m n dengan indeks-indeks walaupun dan ganjil. Kemudian kita perlu memperkenalkan satu lagi syarat: ijazah a, dalam indeks di mana pecahan yang dikurangkan bernilai, dianggap darjah a, dalam indeks yang mana pecahan yang tidak dapat dipadankan sama dengannya. Kemudian kita akan menjelaskan mengapa keadaan ini adalah untuk kita dan mengapa ia begitu penting. Oleh itu, jika kita mempunyai rekod m · k n · k, maka kita boleh mengurangkannya kepada m n dan memudahkan pengiraan.

Jika n adalah nombor ganjil dan m adalah positif, adalah nombor bukan negatif, maka m n masuk akal. Keadaan nonnegatif adalah perlu, memandangkan akar kuasa walaupun tidak diekstrak daripada nombor negatif. Sekiranya nilai m adalah positif, maka boleh jadi negatif dan sifar, kerana akar ijazah ganjil boleh diekstrak daripada sebarang nombor sebenar.

Gabungkan semua data di atas definisi dalam satu rekod:

Di sini m / n bermakna pecahan yang tidak dapat dibuktikan, m ialah sebarang integer, dan n adalah sebarang integer positif.

Untuk mana-mana pecahan berkurang biasa m · k n · k, ijazah boleh digantikan dengan m n.

Tahap nombor a dengan indeks pecahan yang tidak boleh ditebus m / n boleh dinyatakan sebagai m n dalam kes berikut: - untuk sebarang nilai integer positif m dan nilai semula jadi g n. Contoh: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- bagi mana-mana nilai bukan nol, nilai integer negatif m dan nilai ganjil n, sebagai contoh, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- untuk sebarang nilai negatif integer, m dan n, contohnya, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- bagi mana-mana positif a, integer negatif m dan bahkan n, sebagai contoh, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Dalam kes nilai lain, ijazah dengan eksponen pecahan tidak ditakrifkan. Contoh darjah tersebut: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Sekarang mari kita jelaskan pentingnya keadaan yang disebutkan di atas: kenapa menggantikan fraksi dengan indeks yang dikurangkan dengan pecahan dengan pecahan yang tidak dapat dikurangkan. Jika kita tidak melakukan ini, maka kita akan mempunyai situasi seperti itu, katakan, 6/10 = 3/5. Kemudian ia benar (- 1) 6 10 = - 1 3 5, tetapi - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, dan (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Penentuan ijazah dengan indeks fraksional, yang kami sebutkan dahulu, lebih mudah untuk diamalkan daripada yang kedua, oleh itu kami akan menggunakannya lagi.

Jadi, derajat nombor positif a dengan indeks pecahan m / n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0. Dalam kes negatif a, kemasukan m n tidak masuk akal. Tahap sifar untuk penunjuk fraktional positif m / n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0, untuk penunjuk pecahan negatif kita tidak menentukan tahap sifar.

Dalam kesimpulannya, kita perhatikan bahawa kita boleh menulis sebarang indeks pecahan baik dalam bentuk nombor campuran dan dalam bentuk pecahan perpuluhan: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Apabila mengira, lebih baik menggantikan eksponen dengan pecahan biasa dan kemudian menggunakan takrif eksponen dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas, kami dapat:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Apakah tahap dengan petunjuk yang tidak rasional dan sah

Apakah nombor sebenar? Set mereka termasuk nombor rasional dan tidak rasional. Oleh itu, untuk memahami tahap ijazah dengan petunjuk yang sah, kita perlu menentukan darjah dengan indikator yang rasional dan tidak rasional. Mengenai rasional, kita sudah disebutkan di atas. Kami akan berurusan dengan petunjuk tidak rasional langkah demi langkah.

Katakan bahawa kita mempunyai nombor tidak rasional a dan jujukan anggaran perpuluhannya 0, a 1, a 2,.... Sebagai contoh, ambil nilai a = 1, 67175331... kemudian

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

dan sebagainya (dengan anggaran itu sendiri nombor rasional).

Urutan penghampiran kita boleh mengaitkan urutan derajat a 0, a a, a a 2,.... Sekiranya kita ingat bahawa kita telah memberitahu lebih awal tentang meningkatkan angka ke tahap yang rasional, maka kita boleh mengira nilai darjah ini sendiri.

Ambil contoh a = 3, maka a 0 = 3 1, 67, a 1 = 3 1, 6717, a 2 = 3 1, 671753,... dan sebagainya

Urutan darjah boleh dikurangkan kepada nombor, yang akan menjadi nilai ijazah c dengan asas a dan indeks tidak rasional a. Secara ringkas: ijazah dengan indeks yang tidak rasional dalam bentuk 3 1, 67175331.. boleh dikurangkan kepada bilangan 6, 27.

Tahap nombor positif a dengan eksponen yang tidak rasional ditulis sebagai a. Nilainya adalah had urutan yang a 0, a a, a a 2,... di mana a 0, a 1, a 2,... ialah anggaran perpuluhan berturut-turut nombor tidak rasional a. Tahap asas sifar juga boleh ditakrifkan untuk petunjuk rasional yang positif, dengan 0 a = 0 Oleh itu, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Dan bagi yang negatif ini tidak dapat dilakukan, kerana, sebagai contoh, nilai 0 - 5, 0 - 2 π tidak ditakrifkan. Satu unit yang dinaikkan ke mana-mana tahap irasional kekal satu unit, contohnya, dan 1 2, 1 5 hingga 2 dan 1 - 5 akan sama dengan 1.